Отрезок соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара называется

Содержание

Опорный конспект по геометрии «Объем шара» (11 класс)

Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, т.е. не проходящий через центр шара, называется хордой шара.

Сечение шара плоскостью есть круг.

Теорема : объём шара радиуса равен .

Площадь сферы можно вычислить по формуле: .

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шара.

Отсюда видим, что радиус шара равен (см). Напомним, что диаметр шара вдвое больше его радиуса. Тогда диаметр нашего шара равен (см).

Задача: радиус шара увеличили в раза. Во сколько раз увеличился объём шара?

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шара.

Так как по условию задачи радиус исходного шара увеличили в 2 раза, то радиус данного шара будет равен . Подставляя данный радиус в формулу для вычисления объёма шара видим, что объём исходного шара увеличился в 8 раз. Следовательно, ответ: объём шара увеличился в 8 раз.

Задача: в цилиндр вписан шар. Найдите отношение объёма шара к объёму цилиндра.

Решение: шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга, параллельной основаниям цилиндра. Отсюда следует, что , а высота цилиндра равна .

Объём шара вычисляется по формуле , а объём данного цилиндра можно вычислить по формуле , где – это площадь основания, — высота цилиндра. Так как высота данного цилиндра равна двум радиусам, а площадь основания равна , то объём цилиндра равен .

Найдём отношение объёма шара к объёму цилиндра. Получаем, что объём шара относится к объёму цилиндра, как .

Эту задачу называют «Задачей Архимеда». Во времена Архимеда формула объёма шара была неизвестна. Поэтому данная задача считалась очень трудной и, решив ее, Архимед испытал большую радость. На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного около него цилиндра.

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

Источник

Шар и сфера, их сечения

Урок 40. Подготовка к ЕГЭ по математике

Конспект урока «Шар и сфера, их сечения»

Напомним, что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.

Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

Поверхность, образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

Назовём элементы сферы и шара.

Радиус сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.

Хорда сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметр сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.

Радиус, хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость, которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Признак касательной плоскости к сфере: плоскость, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

Касательная плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.

Касательной прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой единственную общую точку.

Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Линией пересечения двух сфер является окружность.

Площадь сферы радиуса : .

Объём шара радиуса : .

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Площадь боковой поверхности шарового сегмента:

Объём шарового сегмента:

где – радиус шара, – высота шарового сегмента.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.

Площадь боковой поверхности шарового сектора:

Объём шарового сектора:

где – радиус шара, – высота сегмента.

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

Шар называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

Шар называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.

Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра принадлежат поверхности шара.

Шар называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус (усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается основания (оснований) конуса и всех образующих.

Шар называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.

Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Если боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.

В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.

Описать шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания можно описать окружность.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Радиус шара увеличили в раза. Во сколько раз увеличился объём шара?

Задача четвёртая. В конус с радиусом основания, равным см, и высотой, равной см, вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади поверхности шара.